公理系
定義・公理・定理・命題・補題・系を完全理解しよう | 数学の景色
公理 （ こうり ） は、その他の命題を導き出すための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを 公理系 （英語版） (axiomatic system) という 。 See more 公理系とは，公理的体系の 略称 であって，とくに自然科学的 学問 を体系づける方法のひとつである。 そのもっとも古い，しかも有名な例は ユークリッド幾何学 の体系であ 數學上，一個公理系統（英語： axiomatic system ，或稱公理化系統，公理體系，公理化體系）是一個公理的集合，從中一些或全部公理可以一併用來邏輯地導出定
他の定理を証明するのに補助的に使われる定理を 補題 ということがあります。 ある定理から派生的に導かれる定理を 系 ということがあります。 重要性が低い定理を単に 命題 ということがあります。. 論理と集合から始める数学の基礎 posted with amazlet at Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded Springer Monographs in Mathematics posted with amazlet at 数学的帰納法 自然数上の変数を含む命題に対し、自然数のある性質に着目して、その命題を証明、あるいは定義するための手 ある 理論 の出発点となる仮定を公理という。 数学 における各理論は、いくつかの 命題 を 前提 とし、それらのみを仮定として展開される。すなわち、最初に仮定された命題や、それらからすでに導かれている命題を前提として、次々に新しい命題が導かれるのである。この仮定される最初の前提が、その理論の公理（あるいは 公理系 ）とよばれるものである。.そのような例としては、たとえば、自然数論の公理系として有名な ペアノの公理 がある。次の 1 ～ 5 がそれである。.かつては、公理とは「自明な命題」のことと考えられていた。つまり、いくつかの「自明な命題」から自明でない正しい命題を導き出すものが理論である、と考えられていたのである。紀元前年ごろ集大成されたといわれている ユークリッド の『 幾何学 原本 』（ストイケイア）では、すでに、幾何学がこのように公理的に構成されている。そこでは、「任意の点から任意の点まで 直線 が引ける」などの公理からなっているが、そのなかには「 平行線公理 」といわれるものも含んでいる。この公理は他に比べて複雑で、あまり自明とも思われなかったため、他の諸公理から導けるものと考えられていたが、19世紀に至って、 平行線 公理のかわりに、その否定命題を公理としても新しい幾何学ができることが確かめられた。これが 非ユークリッド幾何学 である。.出典 小学館 日本大百科全書 ニッポニカ 日本大百科全書 ニッポニカ について 情報 凡例.出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報.出典 株式会社平凡社 百科事典マイペディアについて 情報.出典 精選版 日本国語大辞典 精選版 日本国語大辞典について 情報.出典 小学館 デジタル大辞泉について 情報 凡例.出典 株式会社平凡社 世界大百科事典 第２版について 情報.字通「公」の 項目を見る 。.出典 平凡社「普及版 字通」 普及版 字通について 情報.出典｜ 株式会社平凡社 世界大百科事典 第２版について 情報.日本大百科全書 ニッポニカ 「公理」の意味・わかりやすい解説 公理 こうり axiom 英語 axiome フランス語 Axiom ドイツ語.公理 こうり axiom.こうり【公理 axiom】.関連語をあわせて調べる ゲーデルの不完全性定理 数学で用いる論理を含み、自然数の理論が展開でき、その公理系、推論規則を実際に与えることができるような ツェルメロの公理 ツェルメロの選択公理ともいう。 E.ラムゼーの定理 B.平行線の公理 ユークリッド幾何学で，平面上では直線外の1点からのこれに平行な直線はただ1本であることを要請するため これを、「公理」と呼ぶ。 ユークリッド原論 では様々な公理や公準を定めており、本書もそれに従う。ただしユークリッド原論の公理や公準は現代数学的に見て不備のある部分もあるのでそれを修正したヒルベルトによる公理、 w:en:Hilbert's axioms に従う。.公理では、点、線、面とは何かについて一切の言及はない。これは、点、線、面についての 関係 が全てである。また、この公理系からは、ある命題とその否定命題が同時に証明されない、すなわち無矛盾であり、他の公理からある公理が導かれることはなく、知られる限りの定理がこれらの公理系から証明または反証可能である。.また集合論的に公理を定めることもできる。 実例 。.次に平行線公理についてだが、ユークリッド原論では「1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。」という長い命題であった。その他の公準が短い文なのに対しこれだけは長く、本当に自明か、ということが問われたり、他の公理から平行線公理を演繹しようとする試みが行われていた。なお平行線公理は他の公理からは独立であり、平行線公理を他の公理から論理的に導くことは不可能である。その証拠に、平行線公理を仮定しない「非ユークリッド幾何学」なるものが存在する。ここの辺りは w:平行線公準 に詳しい。.出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』.数学のどんな分野のどんな定理も、まず最初に仮定があって、そこから証明が展開され、最終的には定理が導かれる。そこで定理から仮定をさかのぼってゆくことができる。しかし、無限にさかのぼり続けることは出来ないので、どこかで「これは無条件に正しい」ということを認めなければならない。 これを、「公理」と呼ぶ。 ユークリッド原論 では様々な公理や公準を定めており、本書もそれに従う。ただしユークリッド原論の公理や公準は現代数学的に見て不備のある部分もあるのでそれを修正したヒルベルトによる公理、 w:en:Hilbert's axioms に従う。 目次.カテゴリ : スタブ 初等幾何学.案内メニュー 個人用ツール ログインしていません このIPとの会話 投稿記録 アカウント作成 ログイン.名前空間 本文 議論.表示 閲覧 編集 履歴表示.メインページ コミュニティ・ポータル 談話室 最近の更新 おまかせ表示 アップロード（ウィキメディア・コモンズ）.ヘルプ 寄付.リンク元 関連ページの更新状況 特別ページ この版への固定リンク ページ情報 このページを引用.ブックの新規作成 PDF 形式でダウンロード 印刷用バージョン. 同じ用語でも本によって定義が違うこともあります。 例えばある本では「偶然とは2で割り切れる自然数である」と定義しているかもしれません。 だとしても、それ以降の議論がすべてこの定義を前提として進んでいれば何も問題ありません。 学校数学と違って学習指導要領で決まってるわけじゃないので、本によって定義が微妙に違うことは良くあります。 だから数学の本を読むときは定義を確認することが大切です。.新しい用語は既に定義された用語だけを使って定義しないといけない、というのは厳密には無理です。 なぜならAという用語を定義するにはBという用語が必要で、Bという用語を定義するにはCという用語が必要で…、と考えると、絶対にスタートになる用語が必要になるからです。 実はこのスタートになる数学用語は「集合」という名詞と「属する」という動詞です。 数学ではこの2つだけは「無定義」で使うことになります。.公理も定義と同じで、人間が真だと決めた命題なので、証明することはできません。 定義が概念を定めた命題なのに対して、公理は性質を定めた命題です。 たとえば「実数のたし算では交換法則が成り立つ」みたいなのが公理です。.公理は人間が無条件に正しいと認める性質なので、できるだけ少ない方が良いです。 では最低限いくつあれば良いのかというと、7つあれば大抵の数学が作れることが分かっています。 この7つの公理はZFCと呼ばれていて、詳しくは 公理的集合論を論理記号なしで解説 で解説しています。.ただし、実際には証明できる命題を公理とすることもあります。 例えば、上であげた「実数のたし算では交換法則が成り立つ」という公理は厳密にはZFCから証明することができます。 でも、実数の関数の微分や積分を調べたいのに、いちいち実数の性質から証明していたら大変なので、 これを公理にしてそこから先を調べることに集中するのです。.ここに登場した「重要性が低い定理」という意味の「命題」と、一般に「真偽が判別できる主張」という意味の「命題」は別物です。 これを区別したいときは、前者を 狭義の命題 、後者を 広義の命題 ということがあります。.定義・公理・定理・補題・系の違いは？ 数学 YOSHIKI